Hukum I Kepler
262px-Kepler-first-law_svgKepler adalah seorang ahli matematika termutakhir dizamannya, sehingga kemajuan yang ia buat dalam studi tentang gerakan planet-planet adalah untuk memperkenalkan dasar matematika untuk model heliosentris dari tata surya. Dimana Ptolemy dan Copernicus hanya bergantung pada asumsi, seperti bahwa lingkaran adalah bentuk yang “sempurna” dan semua orbit benda langit harus melingkar, Kepler menunjukkan bahwa orbit lingkaran matematis tidak sama dengan data yang adap pada planet Mars, namun orbit elips juga tidak cocok dengan data! Kita sekarang lihat pernyataan berikut sebagai Hukum Pertama Kepler:

Orbit setiap planet berbentuk elips dengan matahari berada di salah satu fokusnya

Berikut adalah demonstrasi dari metode klasik untuk menggambar bentuk elips:

Sumber: Wikipedia
Sumber: Wikipedia

Kedua pines dalam gambar mewakili dua fokus elips, dan benang tersebut memastikan bahwa jumlah jarak dari dua fokus (paku payung) ke pensil adalah konstan. Di bawah ini adalah gambar lain dari elips dengan sumbu utama dan sumbu minor didefinisikan:

Sumber : wikipedia.org
Sumber : wikipedia.org

Kita tahu bahwa dalam suatu lingkaran, semua garis yang melewati pusat (diameter) adalah sama panjang. Namun, dalam elips, garis yang Anda gambar melalui pusat bervariasi panjangnya. Garis yang berpindah dari satu ujung ke ujung dan meliputi kedua titik fokusnya disebut dengan sumbu utama, dan ini adalah jarak terpanjang antara dua titik pada elips. Garis yang tegak lurus terhadap sumbu utama di pusatnya disebut dengan sumbu minor, dan itu adalah jarak terpendek antara dua titik pada elips.

Pada gambar di atas, titik-titik hijau adalah fokus (setara dengan paku payung pada foto di atas). Semakin besar jarak antara fokus, semakin besar eksentrisitas pada elips. Dalam kasus yang terbatas dimana fokus berada di atas satu sama lain (eksentrisitas 0), maka gambar itu berupa lingkaran sempurna. Sehingga anda dapat mengatakan bahwa lingkaran dapat disebut sebagai elips dengan eksentrisitas 0. Penelitian telah menunjukkan bahwa buku teks astronomi memperkenalkan kesalahpahaman dengan menunjukkan orbit planet-planet memili eksentrisitas tinggi sebagai usaha mereka untuk memastikan kembali bahwa mereka adalah elips dan bukan lingkaran. Pada kenyataannya orbit sebagian besar planet di tata surya kita sangat dekat dengan bentuk lingkaran, dengan eksentrisitas mendekati 0 (misalnya, eksentrisitas orbit bumi adalah 0,0167). Untuk melihat animasi yang menunjukkan orbit-orbit dengan berbagai eksentrisitasnya, silahkan lihat diagram eksentrisitas di “Windows to the Universe.” Perhatikan bahwa orbit dengan eksentrisitas 0,2 yang hampir berbentuk menyerupai lingkaran, mirip dengan eksentrisitas planet Merkurius dimana ia memiliki eksentrisitas terbesar dari seluruh planet di tata surya. Elips orbit diagram di “Windows to the Universe” termasuk gambar dengan perbandingan langsung dari eksentrisitas beberapa planet, asteroid, dan komet.

Hukum satu kepler memiliki beberapa implikasi antara lain :

  • Jarak antara planet dan matahari berubah seiring planet bergerak sepanjang orbitnya
  • Matahari adalah penyeimbang dari pusat orbit planet

Hukum II Kepler (hukum tentang luas yang sama)
Dalam model tata surya mereka, orang yunani berkeyakinan pada keyakinan Aristoteles bahwa benda-benda di langit bergerak dengan kecepatan konstan dalam lingkaran karena itu semua adalah “gerakan alami.” Akan tetapi, hukum kepler kedua (terkadang disebut sebagai hukum luas sama) dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa kecepatan planet berubah ketika ia bergerak sepanjang orbitnya.

Hukum kepler dua berbunyi :
Garis yang menghubungkan planet dan matahari selalu menyapu luas daerah yang sama pada selang waktu yang sama.

Pada gambar di bawah ini yang mengarah ke sebuah tautan animasi menunjukkan bahwa ketika sebuah planet berada didekat aphelion (titik terjauh dari Matahari, diberi label dengan B) garis yang digambar antara matahari dan planet trace out a long dan memiliki luasan yang skinny diantara titik A dan B. Sebaliknya, Ketika planet dekat dengan titik perihelion (titik terdekat dengan Matahari, diberi dengan label C), garis yang digambar diatara matahari dan planet traceout a shorter dan memiliki luasan yang fatter antara titik C dan titik D. Irisan yang berwarna abu-abu dan biru yang ditarik sedemikian rupa Sejatinya memiliki luasan yang sama. Artinya, luasan antara C dan D di sebelah kanan sama luasnya dengan luasan antara A dan B di sebelah kiri.

Karena bidang kedua sektor adalah identik, maka hukum kedua Kepler mengatakan bahwa waktu yang dibutuhkan planet untuk melakukan perjalanan antara A dan B dan juga antara C dan D pastilah membutuhkan waktu yang sama. Jika Anda melihat jarak sepanjang elips antara A dan B, jarak A dan B lebih pendek dibandingkan jarak antara C dan D. Karena kecepatan adalah jarak dibagi waktu, dan karena jarak antara A dan B lebih pendek dari pada jarak antara C dan D, maka ketika Anda membagi jarak dengan jumlah waktu yang sama Anda menemukan bahwa:

Planet bergerak lebih cepat saat di perihelion dan bergerak lambat saat mencapai aphelion

Orbit-orbit sebagian besar planet hampir lingkaran, dengan eksentrisitas mendekati 0. Dalam hal ini, perubahan kecepatan mereka tidak terlalu besar terhadap jarak orbit mereka.

Hukum III Kepler
Kepler memiliki semua data-data milik Tycho tentang planet-planet, sehingga ia mampu untuk menentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan setiap planet untuk menyelesaikan satu kali orbit mengelilingi matahari. Hal ini biasanya disebut sebagai periode orbit. Kepler mencatat bahwa semakin dekat planet itu ke Matahari maka semakin cepat pula planet itu mengorbit Matahari. Dia adalah ilmuwan pertama yang mempelajari planet dari perspektif bahwa Matahari dipengaruhi oleh orbitnya. Artinya, tidak seperti Ptolemy dan Copernicus, yang keduanya mengasumsikan bahwa “gerak alami” planet abergerak dengan kecepatan konstan di sepanjang lingkaran, Kepler meyakini bahwa Matahari memberikan gaya pada planet untuk mendorong mereka di sepanjang orbitnya dan karena hal ini, semakin dekat mereka dengan Matahari maka semakin cepat mereka menelusuri orbitnya.

Kepler mempelajari periode planet-planet dan jarak mereka dari Matahari, dan ia membuktikannya pada hubungan matematis berikut yang mana disebut sebagai Hukum Kepler ketiga :

“Kuadrat dari periode orbit sebuah planet (P) berbanding lurus dengan pangkat tiga sumbu semimayor (a) pada jalur elipsnya.”

1

Apakah ini berarti secara matematis bahwa jika kuadrat dari periode obyek ganda, maka kubus sumbu semimayor nya juga harus dua kali lipat. Tanda proporsionalitas dalam persamaan di atas memberi arti bahwa:

2

di mana k adalah angka konstan. Jika kita membagi kedua sisi persamaan dengan a3, kita melihat bahwa:

3

Ini berarti bahwa untuk setiap planet di tata surya kita, rasio dari periode mereka sama dengan kuadrat sumbu semimayor kubus adalah memliki nilai konstan yang sama. Maka ini berarti bahwa:

4

Kita tahu bahwa periode bumi adalah 1 tahun. Pada masa Kepler, mereka tidak mengetahui jarak ke planet, tapi kita hanya dapat menetapkan sumbu semimajor Bumi pada satuan yang kita sebut Unit Astronomi (AU). Artinya, tanpa mengetahui seberapa jauh ukuran jarak dari satuan AU, kita hanya mengatur aEarth = 1 AU. Jika anda meletakkan 1 tahun dan 1 AU ke dalam persamaan di atas, maka anda dapat melihat kembali bahwa:

5

Jadi untuk setiap planet, P2 / a3 = 1 jika P dinyatakan dalam satuan tahun dan a dinyatakan dalam satuan AU. Maka jika Anda ingin menghitung seberapa jauh Saturnus dari Matahari dalam satuan AU, semua yang perlu Anda ketahui adalah periodenya. Untuk Saturnus, periodenya adalah sekitar 29 tahun.

6

Jadi Saturnus 9,4 kali lebih jauh dari Matahari daripada Bumi dari Matahari!